트리 구조
트리 : Node 와 Edge (branch) 를 이용해서, 사이클을 이루지 않도록 구성한 데이터 구조
tree는 계층적 자료구조(hierarchical structure)
stack, queue, list 의 자료구조는 선형자료구조(Linear data structure)
- 주요 용도
- 트리 중 이진 트리 형태의 구조로, 탐색(검색)알고리즘 구현을 위해 많이 사용됨
Term
- Node : 트리에서 데이터를 저장하는 기본 요소(데이터와 다른 연결된 노드에 대한 edge 정보 포함)
- Edge (branch) - 간선 : 노드들 간의 연결 선
- Root Node : 트리 맨 위에 있는 노드
- Parent node : 노드의 상위레벨에 연결된 노드
- Child node : 노드의 다음 레벨에 연결된 노드
- Terminal node (Leaf node) : Child node가 하나도 없는 노드
- Sibling : 동일한 Parent node를 가진 노드
- Level : 트리에서 각 층의 번호를 매기는 것 - 루트의 레벨은 1, 한 층씩 내려갈 수록 1씩 증가
- Depth : 트리에서 node가 가질 수 있는 최대 level
- Degree - 차수 : 노드가 가지고 있는 자식노드의 개수
이진트리와 이진 탐색트리
이진트리 (Binary Tree) : 노드의 최대 edge 가 2인 트리
이진 탐색 트리 ( Binary Search Tree) - BST : 이진 트리에 다음과 같은 추가 조건이 있는 트리
왼쪽 노드는 해당 노드보다 작은 값, 오른쪽노드는 해당 노드보다 큰 값을 가지고 있음
- 이진 탐색 트리의 장점
- 탐색 속도를 개선할 수 있음
- 빠른 검색이 가능
- 배열 탐색시간 - O(n)
- 트리 탐색시간 - O(log n)
- 이진 탐색 트리의 주요 용도
- 데이터 검색(탐색)
- 이진 탐색 트리의 시간 복잡도
- O(log n)
- 빅오 표기법에서 log n 의 밑은 10이 아니라 2
- 한 번 실행시마다, 50%의 실행할 수도 있는 탐색경우의 수를 제거한다는 의미
- 50%의 실행시간을 단축
- log n의 시간 복잡도에 대한 증명
- n 의 크기를 반씩 줄이는 걸 가정
n 이 반씩 줄다보면 k 단계에서 최종적으로 1이 된다 가정하자. - 단계별로 n -> n/2 -> n/4 -> n/2의k 승 진행
- n = 2 의 k 승
- 양쪽에 로그 붙이면 logN = k 가 됨.
- n 의 크기를 반씩 줄이는 걸 가정
- O(log n)
- 이진 탐색 트리의 단점
- 평균 시간 복잡도는 O(log n)이지만, 이는 트리가 균형이 잡혀있을 때의 평균시간 복잡도
- 최악의 경우는 링크드 리스트와 동일한 성능을 보여줌 O(n)
quora.com - worst case time complexity
C++ code
노드 클래스 만들기 - 링크드 리트스 활용
이진 탐색 트리 - Insert Data
이진 탐색 트리 - Search
이진 탐색 트리 - Delete
tree 참고 c++ code
tree_code
struct treeNode
{
int data;
treeNode *right, *left;
};
- 트리에서 데이터와 브랜치(edge) 값을 관리하기 위해서는 트리 자료구조를 구현할때 링크드 리스트를 활용하는 것을 권장
insert_data_in_tree
void TreeNodeMgmt::insert_node(int value)
{
TreeNode * binary_tn = new TreeNode;
TreeNode * parent;
binary_tn->data = value;
binary_tn->lChild = nullptr;
binary_tn->rChild = nullptr;
if(root == nullptr)
{
root = binary_tn;
}
else
{
TreeNode * ptr;
ptr = root;
while(ptr != nullptr)
{
parent = ptr;
if(value > ptr->data)
ptr = ptr->rChild;
else
ptr = ptr->lChild;
}
if(value > parent -> data)
parent->rChild = binary_tn;
else
parent->lChild = binary_tn;
}
}
search_tree
bool TreeNodeMgmt::search_node(int value)
{
return searchBinTree(root, value);
}
bool TreeNodeMgmt::searchBinTree(TreeNode * ptr, int value)
{
TreeNode * tn = ptr;
while(tn != nullptr)
{
if(value == tn->data)
return true;
else
{
if(value > tn->data)
tn = tn->rChild;
else
tn = tn->lChild;
}
}
return false;
}
delete_data_in_tree
이진 탐색 트리 삭제
- 삭제할 노드가 없는 경우 false를 return 하고 함수 종료
Case 1. Leaf Node 삭제
삭제할 node의 parent node가 삭제할 node를 가리키지 않도록함
parent node의 edge에 nullptr 대입
void TreeNodeMgmt::deleteBinTree(TreeNode *ptr, int value)
{
if(!searchBinTree(ptr, value))
return;
TreeNode * parent;
TreeNode * tn = ptr;
while(tn != nullptr)
{
if(value == tn->data)
break;
else
{
parent = tn;
if(value > tn->data)
tn = tn->rChild;
else
tn = tn->lChild;
}
}
//Case1. Leaf Node deletion
if(tn->rChild == nullptr && tn->lChild == nullptr)
{
if(value < parent->data)
parent->lChild = nullptr;
else
parent->rChild = nullptr;
delete tn;
}
}
Case 2. Child Node가 하나인 Node 삭제
삭제할 노드의 parent node가 삭제할 노드의 child node를 가리키도록 함
//Case2. One Degree Node deletion
if(tn->rChild == nullptr && tn->lChild != nullptr)
{
if(value < parent->data)
parent->lChild = tn->lChild;
else
parent->rChild = tn->lChild;
delete tn;
return;
}
else if(tn->rChild != nullptr && tn->lChild == nullptr)
{
if(value < parent->data)
parent->lChild = tn->rChild;
else
parent->rChild = tn->rChild;
delete tn;
return;
}
Case 3. Child Node가 두 개인 Node 삭제
- option1 - Rightmost. 삭제할 Node의 오른쪽 자식 중, 가장 작은 값을 삭제할 Node의 Parent Node가 가리키도록 함
- option2 - Leftmost. 삭제할 Node의 왼쪽 자식 중, 가장 큰 값을 삭제할 Node의 Parent Node가 가리키도록 함
- Case 3-1. 삭제할 Node가 Parent Node의 왼쪽에 있을 때
- Case 3-1-1. 삭제할 Node가 Parent Node의 왼쪽에 있고, 삭제할 Node의 오른쪽 자식 중, 가장 작은 값을 가진 Node의 Child Node가 없을 때
- Case 3-1-2. 삭제할 Node가 Parent Node의 왼쪽에 있고, 삭제할 Node의 오른쪽 자식 중, 가장 작은 값을 가진 Node의 오른쪽에 Child Node가 있을 때
- Case 3-2. 삭제할 Node가 Parent Node의 오른쪽에 있을 때
- Case 3-2-1. 삭제할 Node가 Parent Node의 오른쪽에 있고, 삭제할 Node의 오른쪽 자식 중, 가장 작은 값을 가진 Node의 Child Node가 없을 때
- Case 3-2-2. 삭제할 Node가 Parent Node의 오른쪽에 있고, 삭제할 Node의 오른쪽 자식 중, 가장 작은 값을 가진 Node의 오른쪽에 Child Node가 있을 때
//Case3. Two Degree Node deletion
if(tn->rChild != nullptr && tn->lChild != nullptr)
{
if(value < parent->data) //Case 3-1
{
TreeNode * changeNode = tn->rChild;
TreeNode * changeNodeParent;
while(changeNode->lChild != nullptr)
{
changeNodeParent = changeNode;
changeNode = changeNode->lChild;
}
if(changeNode->rChild != nullptr)
changeNodeParent->lChild = changeNode->rChild;
else
changeNodeParent->lChild = nullptr;
parent->lChild = changeNode;
changeNode->rChild = tn->rChild;
changeNode->lChild = tn->lChild;
delete tn;
return;
}
else //Case 3-2
{
TreeNode * changeNode = tn->rChild;
TreeNode * changeNodeParent;
while(changeNode->lChild != nullptr)
{
changeNodeParent = changeNode;
changeNode = changeNode->lChild;
}
if(changeNode->rChild != nullptr)
changeNodeParent->lChild = changeNode->rChild;
else
changeNodeParent->lChild = nullptr;
parent->rChild = changeNode;
changeNode->rChild = tn->rChild;
changeNode->lChild = tn->lChild;
delete tn;
return;
}
}
C++ 전체 코드
#include <iostream>
using namespace std;
struct TreeNode
{
int data;
TreeNode *lChild, *rChild;
};
class TreeNodeMgmt
{
private:
TreeNode * root;
public:
TreeNodeMgmt()
{
root = nullptr;
}
void insert_node(int value);
void displayBST();
void printBinTree(TreeNode * ptr);
bool search_node(int value);
bool searchBinTree(TreeNode * ptr, int value);
void delete_node(int value);
void deleteBinTree(TreeNode * ptr, int value);
};
void TreeNodeMgmt::insert_node(int value)
{
TreeNode * binary_tn = new TreeNode;
TreeNode * parent;
binary_tn->data = value;
binary_tn->lChild = nullptr;
binary_tn->rChild = nullptr;
if(root == nullptr)
{
root = binary_tn;
}
else
{
TreeNode * ptr;
ptr = root;
while(ptr != nullptr)
{
parent = ptr;
if(value > ptr->data)
ptr = ptr->rChild;
else
ptr = ptr->lChild;
}
if(value > parent -> data)
parent->rChild = binary_tn;
else
parent->lChild = binary_tn;
}
}
void TreeNodeMgmt::displayBST()
{
printBinTree(root);
cout << endl;
}
void TreeNodeMgmt::printBinTree(TreeNode * ptr)
{
if(ptr != nullptr)
{
printBinTree(ptr->lChild);
cout << ptr->data << " ";
printBinTree(ptr->rChild);
}
}
bool TreeNodeMgmt::search_node(int value)
{
return searchBinTree(root, value);
}
bool TreeNodeMgmt::searchBinTree(TreeNode * ptr, int value)
{
TreeNode * tn = ptr;
while(tn != nullptr)
{
if(value == tn->data)
return true;
else
{
if(value > tn->data)
tn = tn->rChild;
else
tn = tn->lChild;
}
}
}
void TreeNodeMgmt::delete_node(int value)
{
deleteBinTree(root, value);
}
void TreeNodeMgmt::deleteBinTree(TreeNode *ptr, int value)
{
if(!searchBinTree(ptr, value))
return;
TreeNode * parent;
TreeNode * tn = ptr;
while(tn != nullptr)
{
if(value == tn->data)
break;
else
{
parent = tn;
if(value > tn->data)
tn = tn->rChild;
else
tn = tn->lChild;
}
}
//Case1. Leaf Node deletion
if(tn->rChild == nullptr && tn->lChild == nullptr)
{
if(value < parent->data)
parent->lChild = nullptr;
else
parent->rChild = nullptr;
delete tn;
return;
}
//Case2. One Degree Node deletion
if(tn->rChild == nullptr && tn->lChild != nullptr)
{
if(value < parent->data)
parent->lChild = tn->lChild;
else
parent->rChild = tn->lChild;
delete tn;
return;
}
else if(tn->rChild != nullptr && tn->lChild == nullptr)
{
if(value < parent->data)
parent->lChild = tn->rChild;
else
parent->rChild = tn->rChild;
delete tn;
return;
}
//Case3. Two Degree Node deletion
if(tn->rChild != nullptr && tn->lChild != nullptr)
{
if(value < parent->data) //Case 3-1
{
TreeNode * changeNode = tn->rChild;
TreeNode * changeNodeParent;
while(changeNode->lChild != nullptr)
{
changeNodeParent = changeNode;
changeNode = changeNode->lChild;
}
if(changeNode->rChild != nullptr)
changeNodeParent->lChild = changeNode->rChild;
else
changeNodeParent->lChild = nullptr;
parent->lChild = changeNode;
changeNode->rChild = tn->rChild;
changeNode->lChild = tn->lChild; //nullptr
delete tn;
return;
}
else //Case 3-2
{
TreeNode * changeNode = tn->rChild;
TreeNode * changeNodeParent;
while(changeNode->lChild != nullptr)
{
changeNodeParent = changeNode;
changeNode = changeNode->lChild;
}
if(changeNode->rChild != nullptr)
changeNodeParent->lChild = changeNode->rChild;
else
changeNodeParent->lChild = nullptr;
parent->rChild = changeNode;
changeNode->rChild = tn->rChild;
changeNode->lChild = tn->lChild;
delete tn;
return;
}
}
}
int main()
{
TreeNodeMgmt bst;
bst.insert_node(20);
bst.insert_node(10);
bst.insert_node(5);
bst.insert_node(15);
bst.insert_node(40);
bst.insert_node(45);
bst.insert_node(30);
bst.displayBST();
//search node
if(bst.search_node(45))
cout << "node search success" <<endl;
else
cout << "node search fail" <<endl;
//case1 - Leaf node deletion
bst.delete_node(30);
bst.displayBST();
//case2 - one Degree node deletion
bst.insert_node(30);
bst.insert_node(25);
bst.delete_node(30);
bst.displayBST();
//case3 - two Degree node deletion
bst.insert_node(30);
bst.insert_node(35);
bst.delete_node(30);
bst.displayBST();
return 0;
}